読みたいかもしれない本


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★★★:非常に読みたい(とても効果が期待できる)
★★:読みたい(読む価値が十分ある)
★:読んでも良い(遅かれ早かれ読む)
無印:参考

Second steps in Topology
Long Live Geometry !

(geometric, differential, low-dimensional) Topology


★Hirsch: Differential Topology

Guillemin-Pollackと並ぶ定番。横断性などDTの基本が書いてある(と初めの方に書いてある)。

★Milnor: Topology from Differentiable Viewpoint

薄い。名著らしい。和訳の方が安い。

★★★Milnor: Morse Theory (Annals of Mathematic Studies AM-51)

モース理論。微分幾何の入門を含み、Bott周期性定理に至る。
第1部 多様体上の退化せぬ滑らかな関数(定義と補助定理 臨界値によっていい表わされるホモトピー型 ほか)
第2部 リーマン幾何への速成コース(共変微分 曲率テンソル ほか)
第3部 測地線に応用された変分学(滑らかな多様体上の道の空間 道のエネルギー ほか)
第4部 リー群と対称空間への応用(対称空間 対称空間としてのリー群 ほか)

★★★Bott, Tu: Differential Forms in Algebraic Topology

多様体上の微分形式からの(つまり、de Rham Cohomologyによる)代トポの入門。
Thom類を中心に据ゑたモノグラフとも読める。スペクトル系列のやさしい導入(この辺りからあまり読んでいない)。 
和訳

★★★Milnor, Stasheff: Characteristic Classes

いろいろな特性類のモノグラフ。これも代トポ寄り。持つてない。
原著

以下5冊は、まだまだ難しそう。

Scorpan: The Wild World of 4-Manifolds

面白いらしい。難しそう。

Turaev: Quantum Invariants of Knots and 3-Manifolds

TQFTの有名な本らしい。結び目にはあまり興味無いのだけど、面白いのでせうか。

Kirby: The Topology of 4-Manifolds

4次元

Saveliev: Lectures on the Topology of 3-Manifolds: An Introduction to the Casson Invariant

3,4次元

Kosinski: Differential Manifolds

5次元以上での結果 Dover版なので安い

Diff.Geo.

Topologyをやりたい場合でも、微分幾何も知つておいた方がいいんでせうねえ。(追記:当然ですよね……)

★★小林 昭七: 接続の微分幾何とゲージ理論


★茂木 勇, 伊藤 光弘: 復刊 微分幾何学とゲージ理論


★★野水 克己: 現代微分幾何入門


Taubes: Differential Geometry: Bundles, Connections, Metrics and Curvature


Complex geometry

複素幾何。私は難易度を評価できませんが、微分幾何がしつかり分れば読めるのかしら。

★Milnor: 複素超曲面の特異点

陳省身(Chern): 複素多様体講義

Weil: ケーラー多様体論入門


Complex Analysis and Riemann Surfaces

複素解析=関数論

Rudin, Ahlfors, 高橋 礼司

Freitag, Busam: Complex Analysis

数論志向の関数論 springerlinkで読める

1次元複素多様体=リーマン面

中井 三留: リーマン面の理論

倉持 善治郎: リーマン面

楠 幸男: 函数論―リーマン面と等角写像

Donaldson: Riemann Surfaces

Freitag: Complex Analysis 2(springerlink)

Napier, Ramachandran: An Introduction to Riemann Surfaces

L^2 Delta-bar method といふのを駆使した解説 springerlinkで読める

Harder: Lectures on Algebraic Geometry I(springerlink)

リーマン面を例とした代数幾何 前半で圏と極限(10p)、ホモロジー代数(23p)、層(16p)、層係数コホモロジー(128p)を解説
後半(111p)かけて閉リーマン面、Abelian varietyと目次によると書いてある
層のコホモロジーは、代数幾何の大体の一般的な教科書(上野さんのやHeartshone)に解説があるようだ
Topologyに寄つてるのはIversenやDimcaなどがある。

Several Complex Variables

ここにも層のコホモロジーが使はれる

若林 功: 多変数関数論 (数学のかんどころ 21)

野口 潤次郎: 多変数解析関数論 ─学部生へおくる岡の連接定理─

以下は、怖くて立ち向かへない

広中 平祐, 卜部 東介: 解析空間入門

グラウエルト, レンメルト: シュタイン空間論

Gunning, Rossi: Analytic Functions of Several Complex Variables

Hormander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, Third Edition


Chern-Gauss-Bonnet-Poincaré-Hopf-Lefschetz-Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch-Atiyah-Singerの指数定理

代トポと解析を基礎に、古典的な大定理を包摂した形で現れた20世紀数学の金字塔的大定理。
種々の証明に数学の全分野が活用されるので、楽しいのではないでせうか。

★★吉田 朋好: ディラック作用素の指数定理

熱核を用ゐたAnalyticな局所指数定理の解説。と思ひきや、第2章で接続や計量が解説されたり、
第3章ではChern類から始まり、特性類がベクトルバンドルの一次独立な切断の障碍類であることをみるなど、幾何の復習にも良さそう。

★★Roe: Elliptic Operators,Topology,and Asymptotic Methods, Second Edition

これが↑の種本といふ訳ではないだらうが、幾何の復習から始まるコンパクトな本(200ページ!!!)
但し、この本でのリーマン幾何の解説は特急で、各々ぱらぱら見た感じでは、
Taubes(各駅)<<野水<小林(快速)<茂・伊<<Roe(特急) 位の差がある。

★古田 幹雄: 指数定理

Topologicalな証明の載つているらしい本。岩波「現代数学の展開」から。

Lawson, Michelsohn: Spin geometry

定番・有名らしい本。

Booss, Bleecker: Topology and analysis:the Atiyah-Singer index formula and gauge-theoretic physics

人気があるらしい本。

Operator Algebra

関数解析が前提にはなりますが……。関数解析はBrezisがSpringerlinkで読める。
Rudin: Functional Analysis もあるが、高い
Brezis辺りでSobolev空間に慣れれば、指数定理の解析側に繋がる。
作用素環が怖くなくなれば、リー群の表現論にも繋がる。

非可換幾何、非可換確率論、Gel’fand-Naimark duality、algebraic K-theoryなど面白そうな話題があります。

★梅垣 寿春 et al.: 復刊 作用素代数入門―Hilbert空間よりvon Neumann代数

第1章 函数解析の基礎概念
第2章 B(H),C(H),S(H),T(H)とRKHS
第3章 C*代数
第4章 von Neumann代数
第5章 KMS条件とTomita‐Takesaki理論
第6章 非可換確率論
第7章 Connesの3型理論
付録 2型、3型、v.N.代数の例

★生西 明夫, 中神 祥臣: 作用素環入門I, II

第1巻: 関数解析とフ​ォン・ノイマン環
第2巻: C*環とK理​論

番外


★★Atiyah‐MacDonald 可換代数入門

ホモロジー代数に深くは立ち入らず、代数幾何に最低限必要なイデアル論をやる。章末問題でZariski位相やらスキームやらを導入。

以下余白





































































































以上余白