Homological Algebra


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ホモロジー代数

ホモロジー代数は現代数学に欠かせない基礎言語です。
Homological Algebra(Wikipedia:en)
Homological algebra is the branch of mathematics which studies homology in a general algebraic setting.
(... omitted ...)
The development of homological algebra was closely intertwined with the emergence of category theory.
(... omitted ...)
From its very origins, homological algebra has played an enormous role in algebraic topology. Its sphere of influence has gradually expanded and presently includes commutative algebra, algebraic geometry, algebraic number theory, representation theory, mathematical physics, operator algebras, complex analysis, and the theory of partial differential equations. K-theory is an independent discipline which draws upon methods of homological algebra, as does the noncommutative geometry of Alain Connes.
(... omitted ...)
Cohomology theories have been defined for many different objects such as topological spaces, sheaves, groups, rings, Lie algebras, and C*-algebras. The study of modern algebraic geometry would be almost unthinkable without sheaf cohomology.

Atiyah‐MacDonald 可換代数入門

ホモロジー代数に深くは立ち入らず、代数幾何に最低限必要なイデアル論をやる。章末問題でZariski位相やらスキームやらを導入。

An Introduction to Homological Algebra(Northcott)

(和訳)Northcott ホモロジー代数入門
古典。凡そCEに従つて書かれてゐるらしいので、今となってはWeibelやRotmanの方が読みやすいといふ意見がある。
私はNorthcott分り易いと思ひます。

ホモロジー代数(河田)

岩波講座基礎数学から。上巻で加群、複体のホモロジー、Tor/Ext
下巻で圏が登場し、アーベル圏、導来関手、層、スペクトル系列

An Introduction to Homological Algebra(Weibel)

200pまでにスペクトル系列や群のコホモロジーが解説され、後半200pは高度な話題のやう(なのでやらなくて良いかも)

ホモロジー代数学(安藤)

正誤表が充実してゐる。二刷で大部分が修正されてます。内容は→書籍紹介

Gelfand, Manin: Methods of Homological Algebra

導来圏の解説 感動的な序文
1.Simplicial Sets
2.Main Notions of the Category Theory
3.Derived Categories and Derived Functors
4.Triangulated Categories
5.Introduction to Homotopic Algebra

層に関する文献

層のコホモロジー(Iversen)

本書は、層のコホモロジーをアーベル圏のホモロジー代数の枠組みで扱い、導来圏を用いて一般的な双対定理を証明している。主にチェックコホモロジーを扱い、豊富な例を図式と共に紹介し、初学者が少しでも馴染みやすいように工夫がこらされている。代数的トポロジー・微分幾何学・複素解析学・代数幾何学・代数解析学など多方面にわたる数学の各分野への関連が考慮され、研究に必要不可欠な基本概念が身につけられる好著である。
難しそう!

他に、Lectures on Algebraic Geometry(Harder), Sheaves in Topology(Dimca), Topologie algébrique et théorie des faisceaux(Godemont), SGL(MacLane,Moerdijk), Sheaves on Manifolds(Kashiwara,Schapira)など
このMOの質問への回答に挙がつてゐるものとかなり重複しましたが。

また、ホモロジー代数が20世紀の数学に決定的な影響を与える臨場感が味はえるであらう文献は、
Tohoku, FAC, GAGA, EGA, SGA, ...